第587章 超越级，层层序数（提示，本章略复杂）

    在【超限序数】这一数学理论体系中，存在着所谓的三类条件。

    一、反自反：

    即，如果a≤b，且b≤a，则a=b。

    二、传递性：

    即，如果a≤b，且b≤，则a≤。

    三、完备性：

    若a≤b或者b≤a，那么便不存在无法比较的情况。

    事实上，一切知性生灵所知的自然数范畴到实数范畴内的‘≤’都符合这些性质。

    这些性质，也正是奠定各类集合间【全序关系】的基础。

    至于所谓的全序关系，便是集合层面上的比大小操作。(详见580章)

    任意两个良序集合，假若可以建立一一对应关系。

    那么，就可以说其是【同序数】。

    其实不仅仅是序数，在庞大的数学领域中，亦存在着大量类似通过某种一一对应的变换，来建立两个对象性质相似性的定义。

    其名称，也与‘同序数’这一概念颇为近似。

    譬如同构，同态等等等等。

    如果要将【同序数】这一概念，再进行一番更为细致也更为形象的比喻性描述，那么就可以用【银河霸主】这一大境界来作例子。

    在银河霸主大境之中，若以实力高低为凭，从最低的一阶开始一路往上数。

    二阶、三阶、四阶……一直数到最高的十阶顶尖霸主。

    那么这套力量等级体系，就共计拥有十个阶数。

    其按照实力高低，从小到大就构成了一个良序集。(良序集定义详见580章)

    与此同时，自然数从1到10也能构成一个良序集。

    显然，银河霸主一～十阶，与自然数1～10，是可以一一对应的。

    并且这两者的对应结构，也是保持了顺序的。

    所以，就可以说【银河霸主】等级体系，与自然数1到10的这个集合，为【同序数】。

    也可以更简单的说成，序数是10。

    由此推及到更大的层次，那么全体自然数，显然也能构成一个全序集，或者说一个良序集。

    只是，其并非有限集，而是无穷集。

    这个无穷集，就是最小的超限序数w，亦是穆苍初登无穷之际的实力层次。

    当然，只是祂初登无穷时的层次。

    至于现在的穆苍，则早已远远凌驾在了w级数之上不知凡几。

    可是w……就已然是切切实实的无穷大。

    对于无穷大，还能怎样超越呢？

    答案是，可以超越。

    只不过，需要打开脑洞，展开一场思维风暴。

    开始！

    提问，怎样在自然数集合w中，通过增加一个元素，来得到一个更高阶更巨大的超限序数呢？

    乍一想，这好像是无法做到的。

    因为在自然数集合w中，已经存在了无穷多个元素。

    若想要再加入一个元素，同时还要保持w良序集的性质，这又该往哪里加呢？

    先不要思考答案，可以将这个问题翻转一下。

    翻转之后即是……能否从全体自然数w中，拿走足够多的元素，用来构造一个更小的无穷序数呢？

    只要稍微思考一下，便会知晓这一问题和【希尔伯特旅馆悖论问题】十分相似，或者说大差不差，都属于是对无穷集合的思考与讨论。

    总之，即便从全体自然数集合w中拿走任意多的元素，可只要还剩下无穷多个元素，那么w便还是与全体自然数同序数。

    既然问题已经翻转过了，那么现在，就将结论也翻转一次吧。

    翻转之后便是，往w中添加任意多元素，是毫无意义的。

    即便加了，得到的也依然是与自然数集合同等大小的序数集。

    所以，现在应该要怎么做呢？

    要怎样做才能突破w，到达那更高阶的无穷大层次呢？

    很简单，在全体自然数【末尾】，添加一个元素。

    可是，全体自然数有无穷多个，要如何操作，才能在其按照常理根本就不可能存在的所谓【末尾】，添加上一个元素呢？

    注意，这就是【超限序数】理论中的关键点。

    至关重要！

    如果能够理解这一关键点，能够理解如何〖在全体自然数末尾添加一个元素〗这一操作。

    那么便能十分容易，甚至可以说是水到渠成的完全理解穆苍现今所在的实力层次。

    可若是无法理解。

    那么，就将穆苍当成一般的无穷大吧。

    因为对一切有限数生灵来说，无论哪一种级别的无穷大，都是没有多大区别的，都是永远无法企及的神之层次。

    现在，开始脑洞。

    先进行一番思考，为何要在全体自然数【末尾】添加一个元素？

    原因，就在于想要得到一个比w更大的超限序数，继而去靠近去理解穆苍所在的层次。

    按照序数理论中的定义，序数必须是一个可以顺次排序的良序集。

    那么想要‘扩大’一连串已然排列好的全体自然数，当然就只能在其【末尾】，进行元素添加操作。

    但是按照原先全体自然数w中自带的比大小方法，显然不可能找到任何一个会比全体自然数都大的数。

    因此，这就需要略微修改一下序数理论中有关于【序关系】的定义，继而去寻找另一种比大小的方法，使得突破w这一趟探寻，能够继续进行下去。

    于是一直这样探寻下去，不断探寻下去。

    最终，便可以发现在那【集合理论】体系中，天然就存在着一种比大小方法。

    即是【子集】，或可称【包含】关系。

    由此，就可以尝试着将自然数，通过使用【集合】的方法，进行一番再定义。

    特别需要说明的是，这种方法在诸多三维宇宙的地球人类文明中，是由博弈论之父和计算机之父——约翰·冯·诺依曼创立出来的。

    因为最小的集合是空集，那么就可以把0定义为空集。

    即：0=?

    接着对于1，便可以很自然的定义成拥有一个元素的集合。

    这个元素，就是0。

    即：1={?}={0}

    继续，对于2，亦可以将其定义为：

    2={0，1}

    对于3，则可以定义为：

    3={0，1，2}

    由此，不断的类推下去。

    那么，就可以最终推论出全体自然数n，便是以0到n-1，共计拥有n个元素的集合。

    即：n={0，1，2，3……n-1}

    而全体自然数即便进行过再定义后，再结合【子集】关系，也仍然会是一个良序集。

    因为，其符合【序数理论】的种种条件。

    到了这一步后，就可以考虑在全体自然数集的【末尾】，再加入一个元素了。

    然后……等一等！

    有没有发现一个规律，关于构造自然数的规律。

    即是每一个自然数在被构造出来后，其实都是将前一个自然数【自身】，作为一个元素，加入到其【自身】的集合之中。

    想一想，1、2、3、4……是不是都是如此。

    是的，确实如此。

    所以，现在如果将全体自然数集合本身，作为一个元素，加入到自然数集合中，会得到什么呢？

    试一试。

    很多时候，人们都惯常性的将自然数集合，记作n。

    不过，在序数理论体系中，全体自然数集合，则通常会被记作为w。

    因此，w就可以={0，1，2，3……n}

    那么，如果将w加入到自身集合中，即是：{0，1，2，3……n……w}

    所以这个集合，良序吗？

    是的，它是良序集，货真价实。

    因为在其之中的任何两个元素，都可以进行大小比较。

    并且w之中，包含了所有其他元素，其他所有元素也都是w的子集。

    所以w在排序之时，就应该排在最后。

    毫无疑义。

    总之，〖在全体自然数末尾添加一个元素〗这一操作，此刻终于成功了。

    对于w的突破，也终于成功了。

    而通过这种操作所得到的新超限序数，也就是前面的那个{0，1，2，3……n-1……w}。

    即是，w 1。

    注意，这里的 1不是加了一个自然数1，那是纯纯的两码事。

    同时w，也不能简单的用加减乘除四则运算来折腾，那是大错特错。

    因为集合序数的和，是在两个良序集的无交并上定义一定良序关系后所定义的。

    另外，在得到w 1这一无法与自然数集建立一一对应这种次序关系的更大的超限序数后。

    便可以通过复现先前w加入自身得到w 1的操作，来得到w 2。

    再将w 2加入自身，来得到w 3。

    不断重复这种操作，便可以得到 6、w 7……

    以此类推，最终在进行了无穷多次这类操作后，就可以到达这条无穷复无穷之路的极限——w w。

    也就是，w·2。

    w，可称之为第一重无限，w·2则可称为第二重无限。

    二者的差距从某种意义上来说，用单薄的‘无穷’二字都不足以形容。

    另外要注意，w·2≠2xw。

    w·2，是等于w w，也等于wx2。

    也就是说，2xw≠wx2。

    这两者，是完全不同的‘东西’。

    后者，是一个远比自然数集合w巨大许多许多许多的更高阶无穷序数。

    而在到达了这一层次后，与先前的‘加法’情况类似，序数之中，也是不存在乘法交换律的。

    如果单单将w·2理解成2xw，那也同样会大错特错。

    因为2 2 2 ……不断加下去，共计加上w次，最后得到的也依然会是w。

    总之在得到w·2后，便可以继续通过先前那套方式，无穷复无穷继续得到w·2 1、w·2 2、w·2 3、w·2 4……

    以此类推，最终得到w·2 w。

    也就是，w·3。

    既然有了w·3，那么自然就能顺理成章的通过复刻先前无穷复无穷的方式得到·6……最终得到wxw，也就是w2。

    这，又是一个远远超越前面所有超限序数不知凡几的更高阶超限序数。

    同时，既然有了w2，那自然也可以通过不断进行种种比先前更加复杂的操作，来得到?，w?……

    最终突破到w?，也就是w^w，亦可写作w↑w。

    而穆苍，及其脚下那片无垠无际的时光汪洋，就恰恰处在w↑w这一巨大超限序数之上某两个不算太遥远的深邃层次里。

    只不过时间汪洋的层次要低一些，穆苍则要高一些。

    总之，两者间的差距，总体上不算特别‘大’。

    这，也正是穆苍为何能够如此肆意践踏，那无边蔓海无穷过去未来的原因。

    因为在那实无穷领域中，哪怕只差上一点点，也必然会是无限复无限的差距。

    另外，穆苍亦清楚的知晓，混沌之妄的力量，绝不仅仅只是如此。

    〖w↑w之上〗，也绝对不是祂实力暴涨的尽头。

    是有某种力量，压制了穆苍，压制了混沌之妄。

    “这股压制力量的源头……意义之矢。”

    穆苍缓缓昂首，幽幽就看向了那支存在于时光汪洋上方无穷无尽遥远之处的……巨大青铜箭头。

    没错，就是那支悬立于无边蔓海无尽过去未来之上的神秘青铜箭头——意义之矢，压制了祂的实力增长。

    不止如此。

    穆苍赫然能感觉到，下方那片无垠无尽的时间汪洋，亦被这一支来源未明的青铜箭矢给狠狠压制了。

    如果没有意义之矢的压制，时光汪洋的量级层次，很有可能还会拔升好多个等阶。

    可对于这支散发着如此恐怖压制力量的意义之矢，穆苍却从冥冥之中获晓，或许其……根本就没有要去刻意镇压什么，去刻意束缚什么。

    这支箭矢，可能依然处在某种极深极深的‘沉眠’状态中。

    换而言之，穆苍以及时间汪洋所承受到的那股恐怖压制，大概率就只是意义之矢自然而然散发出的些许威压而已。

    也就是说，这支神秘的意义之矢只是单纯的悬在那儿，就狠狠压制了穆苍与时间汪洋。

    从而让穆苍，无法晋升到自己本该晋升到的层次。

    也让时光汪洋，从自身那本该矗立的层次上狠狠跌落而下。

    不过对于此，穆苍也有解决的办法。

    方法便是，离开这片时间汪洋即可。

    而最简单的遁离方法，便是完成昊阳法第九境，凝结无穷秩点，脱离现象界，踏入本质界。

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